(A) L'equazione y-y0=m(x-x0) si chiama FASCIO PROPRIO di rette e rappresenta tutte le rette che passano per il punto P≡(x0,y0). Tale fascio descrive tutte le rette per P≡(x0,y0) tranne la retta verticale x-x0=0.
(B) L'equazione ax+by+k=0, con a e b fissati e k variabile si chiama FASCIO IMPROPRIO di rette e rappresenta tutte le rette del piano che hanno coefficiente angolare m=-dab. Tale fascio, al variare di k∈R, descrive tutte le rette tra di loro parallele con coefficiente angolare m=-dab.
(C) L'equazione a(x-x0)+b(y-y0)=0 si chiama FASCIO PROPRIO di rette e rappresenta tutte le rette che passano per il punto P≡(x0,y0). Al variare di con a e b tale fascio descrive tutte le rette per P≡(x0,y0) senza escludere nessuna retta.
OSSERVAZIONE Il fascio in A e C sono in pratica la stessa cosa. Non ci sono dubbi che in A la scrittura è più snella e paga il prezzo di non potere descrivere la retta x-x0=0. La scrittura in C ha due coefficienti a e b, è "più pesante", ma ti ripaga descrivendo tutte le rette!
Dalla equazione in C possiamo scriver: b(y-y0)=-a(x-x0), ora se b≠0, allora y-y0=-dab(x-x0) e se poniamo m=-dab otteniamo la scrittura y-y0=m(x-x0) ovvero quella di A. Abbiamo però dovuto suppore b≠0 ovvero che la retta non sia verticale. Il prezzo che paga A per avere una forma più snella è quello di perdere la retta x-x0=0.
La matematica dà degli ottimi insegnamenti, si perde da un lato e si guadagna dall'altro!