Esercizio 1
Risolvere la seguente equazione: $x^2-2x-8=0$.
Soluzione
Trattasi di una equazione di II grado completa, in situazioni del genere dobbiamo determinare il DISCRIMINANTE dell'equazione che indichiamo con $\Delta$:
$\Delta=b^2-4*a*c$
Nell'equazione assegnata $a=1$ (coefficiente di $x^2$), $b=-2$ (coefficiente di $x$) e $c=-8$ (termine noto).
Nel nostro caso otteniamo:
$\Delta=(-2)^2-4*(1)*(-8)=4+32=36$
Sappiamo che se il $\Delta$ è positivo abbiamo due soluzioni distinte, esse si determinano utilizzando la formula risolutiva:
$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}$
Nel nostro caso: $x_{1,2}=\dfrac{2\pm \sqrt{36}}{2*1}=\dfrac{2\pm 6}{2}$
$x_1=\dfrac{2+ 6}{2}=\dfrac{8}{2}=4$ o $x_2=\dfrac{2-6}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$
Possiamo concludere che l'equazione assegnata ha le due radici distinte:
$x_1=4, x_2=-2$
Esercizio 2
Risolvere la seguente equazione: $9x^2-12x+4=0$.
Soluzione
Trattasi di una equazione di II grado completa, in situazioni del genere dobbiamo determinare il DISCRIMINANTE dell'equazione che indichiamo con $\Delta$:
$\Delta=b^2-4*a*c$
Nell'equazione assegnata $a=9$ (coefficiente di $x^2$), $b=-12$ (coefficiente di $x$) e $c=4$ (termine noto).
Nel nostro caso otteniamo:
$\Delta=(-12)^2-4*(9)*(4)=144-144=0$
Sappiamo che se il $\Delta$ è nullo abbiamo due soluzioni coincidenti, esse si determinano utilizzando la formula risolutiva:
$x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}$
Nel nostro caso: $x_1=x_2=\dfrac{12}{2*9}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$
Possiamo concludere che l'equazione assegnata ha le due radici coincidenti:
$x_1=x_2=\dfrac{2}{3}$
Esercizio 3
Risolvere la seguente equazione: $2x^2-3x+5=0$.
Soluzione
Trattasi di una equazione di II grado completa, in situazioni del genere dobbiamo determinare il DISCRIMINANTE dell'equazione che indichiamo con $\Delta$:
$\Delta=b^2-4*a*c$
Nell'equazione assegnata $a=2$ (coefficiente di $x^2$), $b=-3$ (coefficiente di $x$) e $c=5$ (termine noto).
Nel nostro caso otteniamo:
$\Delta=(-3)^2-4*(2)*(5)=9-40=-31$
Sappiamo che se il $\Delta$ è negativo l'equazione è impossibile e non ammette radici reali.
Remark
Dai tre esercizi precedenti sviluppati possiamo tirare le seguenti conclusioni:
$\Delta>0$ l'equazione ammette due radici reali distinte, (vedere esercizio 1)
$\Delta=0$ l'equazione ammette due radici reali coincidenti, (vedere esercizio 2)
$\Delta<0$ l'equazione non ammette reali, (vedere esercizio 3)