Note di Matematica

pagina 617 n.315 e 316

L'esercizio n.315 di pagina 617 chiede di risolvere la seguente disequazione esponenziale:

$\dfrac{7^{2\sqrt{2x^{2-x}}}}{\sqrt{9^x-10\cdot3^x+9}}\geq0$


Osserviamo subito una cosa che entrambe le quantità a numeratore e denominatore nel momento che esistono la disequazione è sempre vera in quanto il numeratore è sempre positivo (trattasi di una esponenziale) e il denominatore è non negativo (dobbiamo porre il radicando $>0$).

Prima di procedere facciamo un'analisi attenta. Al numeratore esiste la quantità $x^{2-x}$ che è del tipo $f(x)^{g(x)}$ dove nel nostro caso $f(x)=x$ e $g(x)=2-x$. Questa è una funzione che può essere scritta nel modo seguente $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$ e quindi il dominio della funzione $f(x)^{g(x)}$ proprio in virtù di questa identità che richiama il logaritmo neperiano è $f(x)>0$. Vedere nota sul libro a pagina $598.$

Nel nostro caso dunque a numeratore dobbiamo porre $x>0$. Passiamo al denominatore dobbiamo risolvere $9^x-10\cdot3^x+9>0$, con un piccolo gioco si trova $x<0$ oppure $x>2$, dobbiamo intersecare con sopra che chiede $x>0$ e l'esercizio è finito!

L'esercizio n.316 di pagina 617 chiede di risolvere la seguente disequazione esponenziale:

$\dfrac{\sqrt{3^{6x}:3^2}}{3^7}<|-3^{-x}|$. In questo esercizio esiste molto fumo per far paura, sai è uno di quei cagnolini piccolissimi che abbaiano e appena ti avvicini vanno in cuccia a più non posso. Mi provo ad avvicinare....

$\dfrac{\sqrt{3^{6x-2}}}{3^7}<|-3^{-x}|$

$\dfrac{3^{3x-1}}{3^7}<|-3^{-x}|$

$3^{3x-8}<|-3^{-x}|$

Il colpo di grazia glielo sferro quando lo privo del valore assoluto (Noto che la quantità nel valore assoluto è sempre negativa, cambio di segno e tolgo definitivamente il valore assoluto e lo smaschero)

$3^{3x-8}<3^{-x}$, oramai il cagnolino è nella cuccia pregando che non mi avvicini abbastanza, però lui mi abbaiava a squarciagola per farmi mettere paura!!!


$3x-8<-x\Longrightarrow 4x<8 \Longrightarrow x<2$. Il cagnolino ora dorme!!!!!