Equazione frazionaria 15/07/2021
Inviato: 17/09/2021, 14:18
Esercizio n.1 Risolvere la seguente equazione frazionaria:
$x\left(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{1-x}\right)-(x-2)\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{4}{x^2-2x}$
$\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{4}{x(x-2)}$
Dopo aver scomposto i denominatori imponiamo le condizioni di accettabilità (C.A.), nel nostro caso i denominatori sono non nulli se e solo se $x\ne2$, $x\ne1$ e $x\ne0$.
Ora determiniamo il $m.c.m.$, esso è $x(x-1)(x-2)$ e continuando a sviluppare l'espressione troviamo:
$\dfrac{x^2(x-1)-x^2(x-2)-x(x-2)^2+(x-1)(x-2)^2}{x(x-1)(x-2)}=\dfrac{4(x-1)}{x(x-1)(x-2)}$
Ora possiamo liberarci del denominatore in virtù del principio che esso è non nullo in quanto $x\ne0$, $x\ne1$ e $x\ne2$. Sviluppando i calcoli a numeratore otteniamo:
$x^3-x^2-x^3+2x^2-x(x^2-4x+4)+(x-1)(x^2-4x+4)=4x-4$
$x^3-x^2-x^3+2x^2-x^3+4x^2-4x+x^3-4x^2+4x-x^2+4x-4=4x-4$
Con molta pazienza, ma davvero ci vuole molta pazienza, tutti termini cubici si elidono e lo stesso vale per quelli quadratici.
Resta l'espressione $0x=0$, equazione indeterminata che ammette infinite soluzioni, solo che ci dobbiamo ricordare di escludere le radici $0,1,2$ e dunque la soluzione dell'equazione assegnata è $S=\mathbb{R}-\{0,1,2\} $
$x\left(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{1-x}\right)-(x-2)\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{4}{x^2-2x}$
$\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x-2}{x-1}+\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{4}{x(x-2)}$
Dopo aver scomposto i denominatori imponiamo le condizioni di accettabilità (C.A.), nel nostro caso i denominatori sono non nulli se e solo se $x\ne2$, $x\ne1$ e $x\ne0$.
Ora determiniamo il $m.c.m.$, esso è $x(x-1)(x-2)$ e continuando a sviluppare l'espressione troviamo:
$\dfrac{x^2(x-1)-x^2(x-2)-x(x-2)^2+(x-1)(x-2)^2}{x(x-1)(x-2)}=\dfrac{4(x-1)}{x(x-1)(x-2)}$
Ora possiamo liberarci del denominatore in virtù del principio che esso è non nullo in quanto $x\ne0$, $x\ne1$ e $x\ne2$. Sviluppando i calcoli a numeratore otteniamo:
$x^3-x^2-x^3+2x^2-x(x^2-4x+4)+(x-1)(x^2-4x+4)=4x-4$
$x^3-x^2-x^3+2x^2-x^3+4x^2-4x+x^3-4x^2+4x-x^2+4x-4=4x-4$
Con molta pazienza, ma davvero ci vuole molta pazienza, tutti termini cubici si elidono e lo stesso vale per quelli quadratici.
Resta l'espressione $0x=0$, equazione indeterminata che ammette infinite soluzioni, solo che ci dobbiamo ricordare di escludere le radici $0,1,2$ e dunque la soluzione dell'equazione assegnata è $S=\mathbb{R}-\{0,1,2\} $