Note di Matematica

Salve prof,
scusi l'orario, ma ricontrollando gli esercizi assegnati per la volta scorsa mi è venuto un dubbio.
Nell'esercizio 52 di P 83 non ho capito perfettamente come svolgere la dimostrazione per assurdo.
Ho provato ma il procedimento non mi convince.
Quale sarebbe l'approccio migliore per svolgerlo?
Grazie mille in anticipo,
Enrico.

Nel fare delle dimostrazioni di proposizioni si possono applicare sostanzialmente tre tecniche di dimostrazioni:

A) METODO COSTRUTTIVO

Ad esempio nella dimostrazione di esistenza delle bisettrice di un angolo convesso, noi abbiamo provato la sua esistenza facendo vedere anche come si costruisce. Diciamo che sono le più belle e sono quelle apprezzate dai matematici costruttivisti, sono quelli che non tollerano altre dimostrazioni all'infuori di quelle costruttive

B) METODO CONTRAPPOSITIVO

Devo dimostrare la proposizione $A \Longrightarrow B$, dove $A$ è l'ipotesi e $B$ è la tesi. In una tale situazione dimostro $\tilde B \Longrightarrow \tilde A$, dove $\tilde B$ rappresenta la negazione di $B$ e $\tilde A$ rappresenta la negazione di $A$.

Esempio

Proposizione
Se $n$ è un numero naturale e $n^2$ è pari $\Longrightarrow$ $n$ è pari.

Anzichè provare la proposizione di sopra dimostro quest'altra:

Proposizione
Se $n$ è un numero naturale e $n$ è dispari $\Longrightarrow$ $n^2$ è dispari.


B) METODO PER ASSURDO

Devo dimostrare la proposizione $A \Longrightarrow B$, dove $A$ è l'ipotesi e $B$ è la tesi. Si parte con il negare la tesi $B$ e mediante il ragionamento logico si arriva a qualche contraddizione, si arriva ad un'affermazione che risulta essere falsa. Il metodo sembra simile a quello CONTRAPPOSITIVO, si differenzia da esso perché pur partendo dalla negazione della tesi non si arriva alla negazione dell'ipotesi ma si ottiene qualcosa che è palesemente falso.


Una classica dimostrazione per assurdo è la seguente:

Proposizione
Se $P$ è l'insieme dei numeri primi, allora $P$ è un insieme infinito.

Si assume che $P$ sia finito e non si dimostra che $P$ non è l'insieme dei numeri primi (sarebbe questo il METODO CONTRAPPOSITIVO), invece si perviene ad un assurdo di altra natura e se vuoi te la farò la dimostrazione.


Veniamo alla tua domanda...

Proposizione
Se $(\mathbb{Q},\cdot)$ è l'insieme dei numeri razionali, allora l'elemento neutro rispetto alla $\cdot$ è unico.

$dim:$

Supponiamo per assurdo che $a$ e $b$ siano elementi neutri distinti,..........



Spero di essere stato chiaro, ma ti posso fare delle dimostrazioni delle tre tipologie.

Dammi solo del tempo e fammi sapere.