Note di Matematica

Esercizio
Risolvere la seguente equazione parametrica:

$\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{1}{k-2}=\dfrac{2}{(x+1)(k-2)}$

mateweb ha scritto: ↑17/11/2021, 19:50 Esercizio
Risolvere la seguente equazione parametrica:

$\dfrac{2x-1}{x+1}+\dfrac{1}{k-2}=\dfrac{2}{(x+1)(k-2)}$

$C.E.:X=\mathbb{R}-\{2\}$

$C.A.:T=\mathbb{R}-\{-1\}$

Sappiamo che $m.c.m.=(x+1)(k-2)$

$\dfrac{(2x-1)(k-2)+x+1-2}{(x+1)(k-2)}=0 \Longrightarrow 2(k-2)x-k+2+x-1=0 \Longrightarrow (2k-3)x-k+1=0$

La forma normale diventa:

$(2k-3)x=k-1$, ora tocca a voi........


Se $k\ne\dfrac{3}{2} \wedge k\ne2 \Longrightarrow x=\dfrac{k-1}{2k-3}$

Se $k=\dfrac{3}{2}$, allora $0x=\dfrac{1}{2}$ e l'equazione è impossibile.


ORA DOBBIAMO CONFRONTARE LA SOLUZIONE IN ALTO CON LA RADICE NON ACCETTABILE:


a) $\dfrac{k-1}{2k-3}=-1 \Longrightarrow k-1=-2k+3 \Longrightarrow 3k=4 \Longrightarrow k=\dfrac{4}{3}$, in tal caso l'equazione è impossibile perchè la soluzione non è accettabile.


QUADRO RIEPILOGATIVO:

• Se $k\ne\dfrac{3}{2}\wedge k\ne2 \wedge k\ne \dfrac{4}{3} \Longrightarrow x=\dfrac{k-1}{2k-3}$

• Se $k=\dfrac{3}{2}:$ Equazione impossibile

• Se $k=\dfrac{4}{3}:$ Equazione impossibile perchè la soluzione $x=-1$ non è accettabile

• Se $k=2:$ Equazione assegnata perde di significato