Fasci PROPRI di rette

Messaggio da **mateweb** » 17/12/2021, 18:23

Abbiamo definito fascio proprio di rette , l'insieme di tutte le rette che passano per un punto

$P\equiv(x_0,y_0)$ del piano cartesiano.

Abbiamo definito fascio improprio di rette , l'insieme di tutte le rette parallele ad una retta

$ax+by+c=0$ del piano cartesiano.

Spesso accade che si assegni un'equazione lineare parametrica in

$k$ , trattasi di un fascio proprio o di un fascio improprio? Come facciamo per scoprire cosa genera tale equazione?

Per dare risposta ad una tale domanda, come in tutte le cose, bisogna metterci le mani e capire!!! Non si può pretendere di stare comodamente a casa guardare TIK TOK e pretendere che un giorno ti venga assegnata la MEGAGLIA FIELDS!

Assegnata l'equazione

$F_p:2kx-(3+k)y+2k+3=0$

possiamo subito dire che trattasi di un fascio proprio in quanto il suo coefficiente angolare vale

$m_k=\dfrac{2k}{3+k}$ , esso varia al variare di

$k$ e quindi saranno rette che passano tutte per uno stesso punto e ognuna con una determinata direzione. Come facciamo per determinare questo punto? Il punto si chiama CENTRO DEL FASCIO e per determinarlo è sufficiente "riscrivere" l'equazione parametrica assegnata in modo da "isolare" il valore

$k$ :

$2kx-3y-ky+2k+3=0\Longrightarrow-3y+3+k(2x-y+2)=0$ , ora dobbiamo mettere a sistema l'equazione della retta prima del

$k$ e quella dopo il

$k$ , si ottiene:

$

$\begin{cases} -3y-3=0\\ 2x-y+2=0 \end{cases}$

$Questo sistema lineare si risolve facilmente e si trova$ C\equiv\left(\dfrac{3}{2},-1\right)

$, questo vuol dire che tutte le rette di$ F_p

$che si ottengono al variare di$ k\in\mathbb{R}

$sono rette che passano per il punto$ C

$. Vi ricordo anche che le rette$ -3y-3=0

$e$ 2x-y+2=0$ si chiamano anche le generatrici del fascio proprio. A dire il vero una qualsiasi coppia di rette che passano per

$C$ sono una coppia di generatrici del fascio proprio!!