Dubbio

[Sara Rotella]

Buonasera prof, svolgendo gli esercizi per casa mi è sorto un dubbio; nel caso in un sistema trovassimo due rette coincidenti, possiamo fermarci appena vediamo che le due equazioni sono uguali oppure dobbiamo continuare?

[mateweb]

Buonasera prof, svolgendo gli esercizi per casa mi è sorto un dubbio; nel caso in un sistema trovassimo due rette coincidenti, possiamo fermarci appena vediamo che le due equazioni sono uguali oppure dobbiamo continuare?

Certo se svolgendo il sistema ci si accorge che le due equazioni sono proporzionali o addirittura uguali, si elimina una delle due e si trovano le soluzioni dell'altra che sono ovviamente infinite.


Esempio 1

$
\begin{cases}
2x-3y=2\\
2x-3y=2
\end{cases}
$

In questo caso evidente che il sistema ammette $\infty$ soluzioni ed è equivalente a determinare le soluzioni dell'unica equazione $2x-3y=2$, troviamo $S=\left\{\left(\dfrac{3y_0+2}{2},y_0\right)\hspace{2mm}|\hspace{2mm}y_0\in\mathbb{R}\right\}$.



Esempio 2

$
\begin{cases}
\dfrac{2}{3}x-4y=2\\
x-6y=3
\end{cases}
$

In questo caso è meno evidente che trattasi di due equazioni proporzionali (forse non è tanto vero, basta guardare meglio e si vede che le equazioni sono proporzionali), facciamo un passaggio e troviamo:

$
\begin{cases}
2x-12y=6\\
x-6y=3
\end{cases}
$

Ora si vede che la seconda equazione si ottiene moltiplicando la prima equazione per $\dfrac{1}{2}$. Anche in questo caso il sistema ammette $\infty$ soluzioni ed è equivalente a determinare le soluzioni dell'unica equazione $x-6y=3$, troviamo $S=\left\{\left(6y_0+3,y_0\right)\hspace{2mm}|\hspace{2mm}y_0\in\mathbb{R}\right\}$.