Abbiamo definito fascio improprio di rette , l'insieme di tutte le rette parallele ad una retta $ax+by+c=0$ del piano cartesiano.
Spesso accade che si assegni un'equazione lineare parametrica in $k$, trattasi di un fascio proprio o di un fascio improprio? Come facciamo per scoprire cosa genera tale equazione?
Per dare risposta ad una tale domanda, come in tutte le cose, bisogna metterci le mani e capire!!! Non si può pretendere di stare comodamente a casa guardare TIK TOK e pretendere che un giorno ti venga assegnata la MEGAGLIA FIELDS!
Assegnata l'equazione
$F_p:2(k+1)x-3(k+1)y-2k+1=0$
possiamo subito dire che trattasi di un fascio improprio in quanto il suo coefficiente angolare vale $m_k=\dfrac{2}{3}$, esso non varia al variare di $k$ e quindi saranno rette tutte parallele tra di loro. Come facciamo per determinare una di queste rette? Per determinare una generatrice del fascio improprio è sufficiente "riscrivere" l'equazione parametrica assegnata in modo da "isolare" il valore $k$:
$2kx+2x-3ky-3y-2k+1=0\Longrightarrow 2x-3y+1+k(2x-3y-2)=0 $, ora è sufficiente prendere una delle due rette perchè come potete notare sono parallele tra di loro. A dire il vero una qualsiasi retta parallela a quelle evidenziate risulta essere una generatrice del fascio improprio!!