Esercizio sulla retta (Proposte tutte le soluzioni)_25_11_21

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Esercizio 1

Sia assegnata la retta $(2k-1)x-(-k+2)y-3(2k+1)=0$ con $k\in\mathbb{R}$. Rispondere alle seguenti domande:


$a)$ Per quali valori di $k$ è una retta verticale.

$b$ Per quali valori di $k$ è una retta orizzontale.

$c)$ Per quali valori di $k$ la retta passa per l'origine.

$d)$ Per quali valori di $k$ la retta è parallela alla retta $x-3y+1=0$.

$e)$ Per quali valori di $k$ la retta è perpendicolare alla retta $3x-2y-3=0$.

$f)$ Per quali valori di $k$ il punto $P\equiv(-2,3)$ appartiene alla retta.

$g)$ Per quali valori di $k$ il coefficiente angolare della retta è $-1$.

$h)$ Per quali valori di $k$ l'ordinata all'origine della retta è $-\dfrac{1}{2}$.

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Esercizio 1

Sia assegnata la retta $(2k-1)x-(-k+2)y-3(2k+1)=0$ con $k\in\mathbb{R}$. Rispondere alle seguenti domande:


$a)$ Per quali valori di $k$ è una retta verticale.

Una retta è verticale quando il coefficiente di $y$ è nullo. Nel nostro caso deve essere $-(-k+2)=0$ ovvero $k=2$ e quindi la retta sarà $3x-15=0$ o se vogliamo in forma "normale" $x-5=0$

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Esercizio 1

Sia assegnata la retta $(2k-1)x-(-k+2)y-3(2k+1)=0$ con $k\in\mathbb{R}$. Rispondere alle seguenti domande:

$b$ Per quali valori di $k$ è una retta orizzontale.

Una retta è orizzontale quando il coefficiente di $x$ è nullo. Nel nostro caso deve essere $2k-1=0$ ovvero $k=\dfrac{1}{2}$ e quindi la retta sarà $-\dfrac{3}{2}y-6=0$ o se vogliamo in forma "normale" $y+4=0$

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Esercizio 1

Sia assegnata la retta $(2k-1)x-(-k+2)y-3(2k+1)=0$ con $k\in\mathbb{R}$. Rispondere alle seguenti domande:

$c)$ Per quali valori di $k$ la retta passa per l'origine.

Una retta passa per l'origine quando $c=0$. Nel nostro caso deve essere $-3(2k+1)=0$ ovvero $2k+1=0$ e quindi $k=-\dfrac{1}{2}$ la retta sarà $-2x-\dfrac{5}{2}y=0$ o se vogliamo una forma più carina a coefficienti interi $4x+5y=0$

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Esercizio 1

Sia assegnata la retta $(2k-1)x-(-k+2)y-3(2k+1)=0$ con $k\in\mathbb{R}$. Rispondere alle seguenti domande:

$d)$ Per quali valori di $k$ la retta è parallela alla retta $x-3y+1=0$.

La retta parametrica ha coefficiente angolare $m_k=\dfrac{2k-1}{2-k}$ e la retta numerica ha coefficiente angolare $m=\dfrac{1}{3}$. Le due rette saranno parallele se e solo se accade che $\dfrac{2k-1}{2-k}=\dfrac{1}{3}$. Risolvendo quest'ultima equazione fratta si trova $k=\dfrac{5}{7}$. Sostituendo il valore trovato si ottiene la retta $x-3y-17=0$

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Esercizio 1

Sia assegnata la retta $(2k-1)x-(-k+2)y-3(2k+1)=0$ con $k\in\mathbb{R}$. Rispondere alle seguenti domande:

$e)$ Per quali valori di $k$ la retta è perpendicolare alla retta $3x-2y-3=0$.

La retta parametrica ha coefficiente angolare $m_k=\dfrac{2k-1}{2-k}$ e la retta numerica ha coefficiente angolare $m=\dfrac{3}{2}$. Le due rette saranno perpendicolari se e solo se accade che $\dfrac{2k-1}{2-k}=-\dfrac{2}{3}$ (RICORDATE CHE DEVONO ESSERE ANTIRECIPROCI). Risolvendo quest'ultima equazione fratta si trova $k=-\dfrac{1}{4}$. Sostituendo il valore trovato e facendo i dovuti aggiustamenti si ottiene la retta $2x+3y+2=0$.

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Esercizio 1

Sia assegnata la retta $(2k-1)x-(-k+2)y-3(2k+1)=0$ con $k\in\mathbb{R}$. Rispondere alle seguenti domande:

$f)$ Per quali valori di $k$ il punto $P\equiv(-2,3)$ appartiene alla retta.

Sappiamo che un punto appartiene ad una retta se e solo se le coordinate del punto soddisfano l'equazione della retta:

$(2k-1)(-2)-(-k+2)(3)-3(2k+1)=0\Longrightarrow -4k+2+3k-6-6k-3=0\Longrightarrow 7k=-7 \Longrightarrow k=-1$

Basta ora sostituire $k=-1$, aggiustare il tutto con calcoli puliti e si ottiene la retta $x+y-1=0$

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Esercizio 1

Sia assegnata la retta $(2k-1)x-(-k+2)y-3(2k+1)=0$ con $k\in\mathbb{R}$. Rispondere alle seguenti domande:

$g)$ Per quali valori di $k$ il coefficiente angolare della retta è $-1$.

La risposta a questa domanda è pressoché immediata, è solo una coincidenza. MI DEVO CONVINCERE DI GIOCARE AL LOTTO.

La retta trovata nel punto precedente ha equazione $x+y-1=0$ e avendo coefficiente angolare $m=-1$ sarà lei la candidata e si otterrà per $k=-1$. RIPETO RAGAZZI E' SOLO UNA COINCIDENZA, IL DESTINO HA VOLUTO COSI! DEVO ANDARE A GIOCARE IL SUPERENALOTTO!!!

Infatti se rispondiamo alla domanda dobbiamo impostare la relazione:

$\dfrac{2k-1}{2-k}=-1$ e questa equazione ovviamente mi dà la soluzione $k=-1$ e quindi la retta $x+y-1=0$.

ANCHE VOI SIETE STATI FORTUNATI!!!!

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Esercizio 1

Sia assegnata la retta $(2k-1)x-(-k+2)y-3(2k+1)=0$ con $k\in\mathbb{R}$. Rispondere alle seguenti domande:


$h)$ Per quali valori di $k$ l'ordinata all'origine della retta è $-\dfrac{1}{2}$.

Ci dobbiamo ricordare che quando una retta è scritta in forma implicita, allora l'ordinata all'origine ha la forma $q=-\dfrac{c}{b}$.

Nel nostro caso si ha che $q=\dfrac{3(2k+1)}{2-k}$ e questa quantità deve essere uguale a $-\dfrac{1}{2}$.


$\dfrac{3(2k+1)}{k-2}=-\dfrac{1}{2} \Longrightarrow 12k+6=-k+2 \Longrightarrow k=-\dfrac{4}{13}$ e la retta, dopo aver sostituito il valore e "aggiustata l'equazione", si ottiene:


$7x+10y+5=0$