Esercitazione 26 11 2021

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Esercizio 1
Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} \dfrac{2}{3-x}\leq \dfrac{4}{2+x} \\ \dfrac{-1}{1-2x}<0 \end{cases}$


Esercizio 2
Risolvere la seguente equazione parametrica fratta:

$\dfrac{1}{(2-k)(x+1)}=\dfrac{3}{k(x-2)}$

Esercizio 3
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(\dfrac{1}{3},-1\right)$ e parallela alla retta $r:y=-\dfrac{1}{2}x-1$.

Esercizio 4
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(-3,2\right)$ e perpendicolare alla retta $r:2x+1=0$.

Esercizio 5
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(-1,\dfrac{2}{3}\right)$ e parallela alla retta $r:4x-y=0$.

Esercizio 6
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(-1,\dfrac{2}{3}\right)$ e perpendicolare alla retta $r:2x-3y+1=0$.

Esercizio 7
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(-2,\dfrac{1}{3}\right)$ e perpendicolare alla retta $r:y=3x-1$.

Esercizio 8
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(-2,2\right)$ e parallela alla retta $r:y=\dfrac{2}{3}$.

Esercizio 9
Dire per quale valore di $a\in\mathbb{R}$ il punto $P\equiv\left(-2a+1,a+3\right)$ appartiene alla retta $r:y=-\dfrac{1}{3}x+2$.

Esercizio 10
Dire per quale valore di $a\in\mathbb{R}$ la retta $r:(a+2)x-(a+1)y-3a+1=0$ ha coefficiente angolare $m=1$.

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Esercizio 1
Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} \dfrac{2}{3-x}\leq \dfrac{4}{2+x} \\ \dfrac{-1}{1-2x}<0 \end{cases}$

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Esercizio 2
Risolvere la seguente equazione parametrica fratta:

$\dfrac{1}{(2-k)(x+1)}=\dfrac{3}{k(x-2)}$

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Esercizio 3
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(\dfrac{1}{3},-1\right)$ e parallela alla retta $r:y=-\dfrac{1}{2}x-1$.

La retta $s$ parallela ad $r$ deve avere coefficiente angolare $m_s=-\dfrac{1}{2}$.

Utilizziamo la formula $y-y_0=m(x-x_0) \Longrightarrow y+1=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\Longrightarrow y+1=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{6}$

$\Longrightarrow 6y+6=-3x+1$ e in definitiva $s: 3x+6y+5=0$

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Esercizio 4
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(-3,2\right)$ e perpendicolare alla retta $r:2x+1=0$.

In questo caso è sufficiente osservare che la retta $r$ è una retta verticale e quindi una retta ortogonale ad una retta verticale di certo è orizzontale. Non è difficile scrivere una retta orizzontale per $P\equiv\left(-3,2\right)$. La retta cercata avrà equazione $s:y-2=0$

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Esercizio 5
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(-1,\dfrac{2}{3}\right)$ e parallela alla retta $r:4x-y=0$.

Mi piace questa volta usare il fascio improprio di rette e quindi le rette del tipo: $r_k:4x-y+k=0$. La retta cercata è quella del fascio che passa per il punto $P\equiv\left(-1,\dfrac{2}{3}\right)$ e quindi è sufficiente imporre le condizione di passaggio:

$-4-\dfrac{2}{3}+k=0 \Longrightarrow k=\dfrac{14}{3}$. La retta cercata avrà equazione: $s:4x-y+\dfrac{14}{3}=0$, la sua equazione a coefficienti interi è: $s:12x-3y+14=0$.

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Esercizio 6
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(-1,\dfrac{2}{3}\right)$ e perpendicolare alla retta $r:2x-3y+1=0$.

Anche in questo caso voglio utilizzare il fascio improprio di rette. Le rette del fascio improprio ortogonali alla retta assegnata hanno equazione $s_k:-3x-2y+k=0$, impongo il passaggio per $P\equiv\left(-1,\dfrac{2}{3}\right)$ e ottengo: $3-\dfrac{4}{3}+k=0 \Longrightarrow k=-\dfrac{5}{3}$. L'equazione della retta sarà $s:-3x-2y-\dfrac{5}{3}=0$, in una "forma migliore" scriviamo $s:9x+6y+5=0$

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Esercizio 7
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(-2,\dfrac{1}{3}\right)$ e perpendicolare alla retta $r:y=3x-1$.

In questo caso mi viene facile considerare il fascio proprio $y-y_0=m(x-x_0)$, devo considerare $m=-\dfrac{1}{3}$, allora la retta cercata sara:

$s:y-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}(x+2) \Longrightarrow s:3y-1=-x-2$. La retta cercata in forma implicita è $s:x+3y+1=0$

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Esercizio 8
Scrivere l'equazione della retta $s$ passante per $P\equiv\left(-2,2\right)$ e parallela alla retta $r:y=\dfrac{2}{3}$.

In questo caso è sufficiente osservare che la retta $r$ è una retta orizzontale e quindi una retta ortogonale ad una retta orizzontale di certo è verticale. Non è difficile scrivere una retta verticale per $P\equiv\left(-2,2\right)$. La retta cercata avrà equazione $s:x+2=0$

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Esercizio 9
Dire per quale valore di $a\in\mathbb{R}$ il punto $P\equiv\left(-2a+1,a+3\right)$ appartiene alla retta $r:y=-\dfrac{1}{3}x+2$.

Affinchè il punto $P\equiv\left(-2a+1,a+3\right)$ possa appartenere alla retta $r$ deve accadere che le coordinate di $P$ devono soddisfare l'equazione della retta e quindi $a+3=-\dfrac{1}{3}(-2a+1)+2$, con semplici calcoli si trova:


$3a+9=2a-1+6\Longrightarrow a=-4$. Infatti per $a=-4$ il punto è $P\equiv(9,-1)$ e facilmente si controlla che appartiene alla retta $r:y=-\dfrac{1}{3}x+2$.