Equazioni e disequazioni con valori assoluti (Alcune relazioni)

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Vediamo con trattare i vari tipi di equazioni equazioni e disequazioni con valori assoluti.

1) $|f(x)|=|g(x)|\Longrightarrow f(x)=g(x)\vee f(x)=-g(x)$


2) $|f(x)|\leq g(x)\Longrightarrow \begin {cases}f(x)\geq -g(x)\\ f(x)\leq g(x) \end{cases}$


3) $|f(x)|\geq g(x)\Longrightarrow f(x)\leq -g(x) \vee f(x)\geq g(x)$



4) $|f(x)|=g(x)\Longrightarrow \begin {cases}g(x)\geq0\\ f(x)=g(x)\vee f(x)=-g(x)\end{cases}$



5) $|f(x)|\leq |g(x)|\Longrightarrow \begin {cases}f(x)\geq g(x)\\ f(x)\leq -g(x)\end{cases}\vee \begin {cases}f(x)\geq -g(x)\\ f(x)\leq g(x)\end{cases}$


Osserviamo che la 5) si può risolvere anche in questo modo se le espressioni di $f(x)$ e $g(x)$ sono "abbastanza semplici":

5) $|f(x)|\leq |g(x)|\Longleftrightarrow [f(x)]^2\leq [g(x)]^2$

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Vediamo come si risolve un esercizio della tipologia 1)
Risolvere la disequazione $|5x-4|=|2x-5|$


Svolgimento
Risolviamo le due equazioni $5x-4=2x-5\vee 5x-4=-2x+5 \Longrightarrow 3x=-1\vee 7x=9\Longrightarrow x=-\dfrac{1}{3} \vee x=\dfrac{9}{7}$

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Vediamo come si risolve un esercizio della tipologia 2)
Risolvere la disequazione $|5x-4|\leq 2x-5 $


Svolgimento

Risolviamo il seguente sistema $\begin {cases}5x-4\geq -2x+5\\ 5x-4\leq 2x-5 \end{cases}\Longrightarrow \begin {cases}7x\geq 9\\ 3x\leq -1\end{cases} \Longrightarrow \begin {cases}x\geq \dfrac{9}{7}\\ x\leq -\dfrac{1}{3}\end{cases}$


La soluzione della disequazione è $S=\emptyset$