Esercizio 1 Risolvi la seguente equazione esponenziale: $ 3* 2^{2x-1}-2^x=4$
Soluzione: In questo caso si tenta di scrivere l'equazione in modo da ricondurla ad un'altra equazione che a noi è noto il metodo per risolverla. Vediamo come procedere:
$ 3* 2^{2x-1}-2^x=4 \Longrightarrow 3* 2^{2x}*2^{-1}-2^x=4 \Longrightarrow $
$\Longrightarrow 3* ({2^x})^2*\dfrac{1}{2}-2^x=4 \Longrightarrow 3*({2^x})^2-2*2^x=8 \Longrightarrow 3*({2^x})^2-2*2^x-8=0$.
Dunque dobbiamo risolvere l'equazione:
$ 3*(2^x)^2-2*2^x-8=0$
Si è soliti fare la posizione $2^x=t$ e l'equazione precedente diventa: $3t^2-2t-8=0$. Quest'ultima è una semplice equazione completa di II grado le cui radici sono: $t=2$ o $t=-\dfrac{4}{3}$.
Se teniamo conto della posizione precedente $2^x=t$, ci siamo ricondotti a svolgere le due seguenti equazioni esponenziali:
$2^x=2$ oppure $2^x=-\frac{4}{3}$
La seconda equazione esponenziale è impossibile perchè il primo membro è positivo e non ci può essere uguaglianza visto che il secondo membro è negativo.
La prima equazione esponenziale $2^x=2=2^1$ ha come soluzione $x=1$.
Concludiamo che l'equazione esponenziale assegnata $ 3* 2^{2x-1}-2^x=4$ ammette come unica soluzione la radice $x=1$