Sia $f:A\longrightarrow B$ una funzione di $A$ in $B$.
Sappiamo che $A$ è il Dominio e $B$ si chiama Codominio. L'elemento $f(x)$ si dice Immagine di $x$ mediante la funzione $f$.
Se noi consideriamo un elemento $y\in B$, il simbolo $f^{-1}(y)$ si dice Controimmagine di $y$ è un sottoinsieme del Dominio $A$ ed è costituito da tutti gli elementi $x$ del Dominio $A$ che hanno per immagine l'elemento $y$. In simboli possiamo dire che $f^{-1}(y)=\{x \in A \hspace {2mm} | \hspace {2mm} f(x)=y \}$.
Si chiama Immagine della funzione e si indica con $Im(f)$ o con $f(A)$ (le due notazioni sono equivalenti), l'insieme costituito dalle immagini di ogni elemento del Dominio $A$, in simboli $Im(f)=F(A)=\{f(x)\hspace{2mm}|\hspace{2mm} x\in A\}$. Osservate bene che $Im(f)$ o $F(A)$ sono sottoinsiemi del Codominio $B$. In simboli $Im(f)\subseteq B$ oppure $f(A)\subseteq B$.
Notate bene che l'immagine di un elemento $x$ è costituita da solo elemento $f(x)$. Con la dicitura Immagine di una funzione si indica l'insieme di tutte le immagini.
Riportiamo un esempio per rendere chiari i concetti finora esposti.
Esempio 1 Sia $f:\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{N}_0$ con la legge $f(x)=|x|+x+1$
La legge $f$ definisce una funzione. In questo caso il Dominio è l'insieme $\mathbb{Z}$ e il Codominio è l'insieme $\mathbb{N}_0$.
L'immagine dell'elemento $-3\in \mathbb{Z}$ è $f(-3)=|-3|+(-3)+1=1$, quindi possiamo dire che l'immagine di $-3$ è l'elemento $1$.
Se invece consideriamo $11\in \mathbb{N}_0$ chi sarebbe $f^{-1}(11)$? Evidente che dobbiamo ricercare gli elementi di $\mathbb{Z}$ che hanno per immagine $11$. Non deve essere difficile intuire che solo $5$ è l'elemento di $\mathbb{Z}$ che ha per immagine $11$, infatti $f(5)=|5|+5+1=11$. In forma compatta possiamo dire che $f^{-1}(11)=\{5\}$.
MOLTO IMPORTANTE
Leggere con molta attenzione tutto quello che è stato detto in questa pagina e studiarlo perchè bisogna rispondere alle seguenti domande (ovvio che la funzione $f$ è quella dell'Esempio 1):
ESERCIZIO
$(Q_1)$ Determinare $f^{-1}(1)$, ovvero la controimmagine di $1$.
$(Q_2)$ Determinare $f(\mathbb{Z})$, ovvero l'Immagine della funzione $f$.