Abbiamo definito fascio improprio di rette , l'insieme di tutte le rette parallele ad una retta $ax+by+c=0$ del piano cartesiano.
Spesso accade che si assegni un'equazione lineare parametrica in $k$, trattasi di un fascio proprio o di un fascio improprio? Come facciamo per scoprire cosa genera tale equazione?
Per dare risposta ad una tale domanda, come in tutte le cose, bisogna metterci le mani e capire!!! Non si può pretendere di stare comodamente a casa guardare TIK TOK e pretendere che un giorno ti venga assegnata la MEGAGLIA FIELDS!
Assegnata l'equazione
$F_p:2kx-(3+k)y+2k+3=0$
possiamo subito dire che trattasi di un fascio proprio in quanto il suo coefficiente angolare vale $m_k=\dfrac{2k}{3+k}$, esso varia al variare di $k$ e quindi saranno rette che passano tutte per uno stesso punto e ognuna con una determinata direzione. Come facciamo per determinare questo punto? Il punto si chiama CENTRO DEL FASCIO e per determinarlo è sufficiente "riscrivere" l'equazione parametrica assegnata in modo da "isolare" il valore $k$:
$2kx-3y-ky+2k+3=0\Longrightarrow-3y+3+k(2x-y+2)=0 $, ora dobbiamo mettere a sistema l'equazione della retta prima del $k$ e quella dopo il $k$, si ottiene:
$
\begin{cases}
-3y-3=0\\
2x-y+2=0
\end{cases}
$
Questo sistema lineare si risolve facilmente e si trova $C\equiv\left(\dfrac{3}{2},-1\right)$, questo vuol dire che tutte le rette di $F_p$ che si ottengono al variare di $k\in\mathbb{R}$ sono rette che passano per il punto $C$. Vi ricordo anche che le rette $-3y-3=0$ e $2x-y+2=0$ si chiamano anche le generatrici del fascio proprio. A dire il vero una qualsiasi coppia di rette che passano per $C$ sono una coppia di generatrici del fascio proprio!!