(A) L'equazione $y-y_0=m(x-x_0)$ si chiama FASCIO PROPRIO di rette e rappresenta tutte le rette che passano per il punto $P\equiv(x_0,y_0)$. Tale fascio descrive tutte le rette per $P\equiv(x_0,y_0)$ tranne la retta verticale $x-x_0=0$.
(B) L'equazione $ax+by+k=0$, con $a$ e $b$ fissati e $k$ variabile si chiama FASCIO IMPROPRIO di rette e rappresenta tutte le rette del piano che hanno coefficiente angolare $m=-\dfrac{a}{b}$. Tale fascio, al variare di $k\in\mathbb{R}$, descrive tutte le rette tra di loro parallele con coefficiente angolare $m=-\dfrac{a}{b}$.
(C) L'equazione $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$ si chiama FASCIO PROPRIO di rette e rappresenta tutte le rette che passano per il punto $P\equiv(x_0,y_0)$. Al variare di con $a$ e $b$ tale fascio descrive tutte le rette per $P\equiv(x_0,y_0)$ senza escludere nessuna retta.
OSSERVAZIONE Il fascio in A e C sono in pratica la stessa cosa. Non ci sono dubbi che in A la scrittura è più snella e paga il prezzo di non potere descrivere la retta $x-x_0=0$. La scrittura in C ha due coefficienti $a$ e $b$, è "più pesante", ma ti ripaga descrivendo tutte le rette!
Dalla equazione in C possiamo scriver: $b(y-y_0)=-a(x-x_0)$, ora se $b\ne0$, allora $y-y_0=-\dfrac{a}{b}(x-x_0)$ e se poniamo $m=-\dfrac{a}{b}$ otteniamo la scrittura $y-y_0=m(x-x_0)$ ovvero quella di A. Abbiamo però dovuto suppore $b\ne0$ ovvero che la retta non sia verticale. Il prezzo che paga A per avere una forma più snella è quello di perdere la retta $x-x_0=0.$
La matematica dà degli ottimi insegnamenti, si perde da un lato e si guadagna dall'altro!